1) Могут ли все стороны прямоугольного треугольника выражаться четными/нечетными числами? 2) Могут ли 2 стороны прямоугольного треугольника выражаться четными/нечетными числами? 3) Какими последовательными числами могут выражаться стороны прямоугольного треугольника?

1) Стороны прямоугольного треугольника связаны соотношением:

a² + b² = c².

Или, a² + b² - c² = 0.

Все три стороны не могут выражаться нечётными числами. Сумма/разность двух нечётных чисел есть чётное число. А сумма чётного числа и третьего нечётного числа не может равняться нулю.

Но все стороны могут выражаться чётными числами.

Пример: 6² + 8² - 10² = 0.

2) Две стороны прямоугольного треугольника могут выражаться и чётными и нечётными числами.

6² + 8² - 10² = 0;

3² + 4² - 5² = 0.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами равными последовательным числам.

Гипотенуза треугольника больше его катетов, поэтому запишем:

x² + (x + 1) ² = (x + 2) ²;

x² - 2 x - 3 = 0.

x = 1 ± √ (1 + 3) = 1 ± 2;

x₁ = 3;

x₂ = - 1. Не действительное решение.

Таким образом, имеем единственный прямоугольный треугольник со сторонами из последовательных чисел:

3² + 4² = 5².