4^x-1 + 2^x-2 - 1,5 больше или равно нулю

4 ^{(x - 1)} + 2 ^{(x - 2)} - 1,5 ≥ 0.

Распишем степени:

4^x * 4 ^(-1) + 2^x * 2 ^(-2) - 1,5 ≥ 0.

Избавимся от минусовой степени:

4^x * 1/4 + 2^x * 1/4 - 1,5 ≥ 0.

Умножим неравенство на 4, чтобы избавиться от дробей:

4^x + 2^x - 6 ≥ 0.

Представим 4 как 2 в квадрате:

(2²) ^x + 2^x - 6 ≥ 0.

(2^х) ² + 2^x - 6 ≥ 0.

Введем новую переменную, пусть 2^x = а.

а² + а - 6 ≥ 0.

Найдем точки пересечения параболы у = а² - а - 6 с осью х:

а² + а - 6 = 0, корни по теореме Виета равны - 3 и 2. Знак неравенства ≥ 0, решение неравенства: а принадлежит промежуткам (-∞; - 3] и [2; + ∞).

То есть а ≤ - 3 и а ≥ 2.

Возвращаемся к замене 2^x = а.

а ≤ - 3; 2^x ≤ - 3 (не может быть, нет корней).

а ≥ 2; 2^x ≥ 2; 2^x ≥ 2¹; отсюда х ≥ 1.

Ответ: х принадлежит промежутку [1; + ∞).