COS (X) + COS (2X) + COS (6X) + COS (7X) = 4COS (X/2) * COS (5X/2) * COS (4X)

1. Выполним группировку левой части:

(cosx + cos7x) + (cos6x + cos2x) = 4cos (x/2) cos (5x/2) cos4x;

2. Воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

cosx + cos7x = 2 сos ((x + 7 х) / 2) * cos ((7x - х) / 2) = 2 сos ((8 х) / 2) * cos ((6 х) / 2) = 2 сos4 х * cos3 х;

cos6x + cos2x = 2 сos ((6x + 2 х) / 2) * cos ((6x - 2 х) / 2) = 2 сos ((8 х) / 2) * cos ((4 х) / 2) = 2 сos4 х * cos2 х;

3. Подставим полученные значения:

2 сos4 х * cos3 х + 2 сos4 х * cos2 х = 4cos (x/2) cos (5x/2) cos4x;

4. Вынесем общий множитель 2 сos4 х:

2 сos4 х * cos3 х + 2 сos4 х * cos2 х = 4cos (x/2) cos (5x/2) cos4x;

2 сos4 х (cos3 х + cos2 х) = 4cos (x/2) cos (5x/2) cos4x;

5. Воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

cos3 х + cos2 х = 2 сos ((3x + 2 х) / 2) * cos ((3x - 2 х) / 2) = 2 сos ((5 х) / 2) * cos ((2 х) / 2) = 2 сos (5 х/2) * cosх;

6. Подставим полученные значения:

2 сos4 х * 2 сos (5 х/2) * cosх = 4cos (x/2) cos (5x/2) cos4x;

7. Перенесем все значения в левую часть и вынесем общий множитель 4cos4 хcos (5x/2):

2 сos4 х * 2 сos (5 х/2) * cosх - 4cos (x/2) cos (5x/2) cos4x = 0;

4 сos4 хсos (5 х/2) (cosх - cos4x) = 0;

8. Воспользуемся формулой разности тригонометрических функций:

cosх - cos4x = - 2sin ((x + 4 х) / 2) * sin ((x - 4 х) / 2) = - 2sin ((5 х) / 2) * sin (( - 3 х) / 2);

9. Подставим полученные значения:

4 сos4 хсos (5 х/2) ( - 2sin ((5 х) / 2) * sin (( - 3 х) / 2)) = 0;

- 8 сos4 хсos (5 х/2) sin (5 х/2) sin ( - 3 х/2) = 0;

8 сos4 хсos (5 х/2) sin (5 х/2) sin (3 х/2) = 0;

10. Произведение равно нулю, если:

1) 8 сos4 х = 0;

сos4 х = 0;

4 х = π/2 + πn, n ∈ Z;

х1 = π/8 + π/4 * n, n ∈ Z;

2) сos (5 х/2) = 0;

5 х/2 = π/2 + πn, n ∈ Z;

х2 = π/5 + π/10 * n, n ∈ Z;

3) sin (5 х/2) = 0;

5 х/2 = πn, n ∈ Z

х3 = 2π/5 * n, n ∈ Z;

4) sin (3 х/2) = 0;

3 х/2 = πn, n ∈ Z;

х4 = 2π/3 * n, n ∈ Z;

Ответ: х1 = π/8 + π/4 * n, n ∈ Z, х2 = π/5 + π/10 * n, n ∈ Z, х3 = 2π/5 * n, n ∈ Z, х4 = 2π/3 * n, n ∈ Z.