Найдите наименьшее значение выражения x2+xy+y2+3y.

Для нахождения наименьшего значения данного выражения преобразуем его, выделив в его составе два полных квадрата:

x^2 + xy + y^2 + 3y = x^2 + xy + y^2/4 + 3y^2/4 + 3y = (x^2 + xy + y^2/4) + 3 * (y^2/4 + y) = (x^2 + xy + y^2/4) + 3 * (y^2/4 + y + 1 - 1) = (x^2 + 2 * x * y/2 + (y/2) ^2) + 3 * ((y/2) ^2 + 2 * (y/2) * 1 + 1^2 - 1) = (x + y/2) ^2 + 3 * ((y/2 + 1) ^2 - 1) = (x + y/2) ^2 + 3 * (y/2 + 1) ^2 - 3.

Полученное выражение принимает наименьшее значение, равное - 3 при у/2 = - 1 и х = - у/2.

Ответ: наименьшее значение данного выражения равно - 3.