Длины всех сторон прямоугольного треугольника выражаются целы - ми числами, при этом длина одного из катетов выражается простым числом, большим 3. Какие остатки при делении на 12 может давать число, выражающее длину другого катета?

По теореме Пифагора отношение длин сторон прямоугольного треугольника равно:

a² + b² = c²;

Пусть b - простое, тогда

b² = c² - a² = (c - a) (c + a);

так как b - простое, то b² может делиться только на b, b² и 1;

Сомножители не равны, поэтому меньший равен 1, а больший b²;

Поэтому b² = с + a;

Тогда c - a = 1;

c + a = b²;

c = (b² + 1) / 2;

a = (b² - 1) / 2;

a = ((b - 1) (b + 1)) / 2;

(b - 1) (b + 1) делится на 3, так как b не делится, а из трех соседних чисел одно делится на 3;

это произведение делится на 8, так как b нечетное, два соседних с ним четные и одно обязательно делится на 4;

Поэтому b² - 1 делится на 24, а - делится на 12, остаток равен 0;

Ответ: Число, выражающее длину другого катета делится на 12 без остатка;