Найдите f' (x) и f' (x0) если: а) f (x) = -5x^4+4x^3+6x^2+2x+3, x0=1; б) f (x) = x tg x, x0=П/4

A) По правилам дифференцирования функции, производная суммы равна сумме производных.

f' (x) = (-5x⁴ + 4x³ + 6x² + 2x + 3) ' = (-5x⁴) ' + (4x³) ' + (6x²) ' + (2x) ' + (3) ' =

= - 20x³ + 12x² + 12x + 2.

Найдем значения производной в точке х₀ = 1.

f' (1) = - 20 * 1³ + 12 * 1² + 12 * 1 + 2 = - 20 + 12 + 12 + 2 = 6.

б) Производная произведения двух функций определяется по формуле: (U * V) ' = U'V + UV'.

f' (x) = (x * tg x) ' = x' * tg x + x * (tg x) ' = tg x + x * 1/cos²x

Производная в точке x₀ = π/4.

f' (π/4) = tg π/4 + π/4 * 1/cos² π/4 = 1 + π/2.