3log_x (4) + 2log_4x (4) + 3log_16x (4) = 0_х, _4 х, _16 х - основы логарифмов

Применим формулу перехода к новому основанию:

3log _х 4 + 2log _{4 х} 4 + 3log _{16 х} 4 = 0;

log _х 4 = 1/log ₄ х;

log _{4 х} 4 = 1/log ₄ 4 х;

log _{16 х} 4 = 1/log ₄ 16 х;

3/log ₄ х + 2 / log ₄ 4 х + 3 / log ₄ 16 х = 0;

Применим формулу произведения логарифмов:

log ₄ 4 х = log ₄ 4 + log ₄ х = 1 + log ₄ х;

log ₄ 16 х = log ₄ 16 + log ₄ х = log ₄ 4² + log ₄ х = 2 + log ₄ х;

3/log ₄ х + 2 / (1 + log ₄ х) + 3 / (2 + log ₄ х) = 0;

Выполним замену:

log ₄ х = у;

3/у + 2 / (1 + у) + 3 / (2 + у) = 0;

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

(3 * (1 + у) (2 + у) + 2 у (2 + у) + 3 у (1 + у)) / у (1 + у) (2 + у) = 0;

3 * (1 + у) (2 + у) + 2 у (2 + у) + 3 у (1 + у) = 0;

3 (2 + у + 2 у + у²) + 2y² + 4y + 3y + 3y² = 0;

6 + 3 у + 6 у + 3 у² + 2y² + 4y + 3y + 3y² = 0;

8y² + 16y + 6 = 0;

4y² + 8y + 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 8² - 4 * 4 * 3 = 64 + 48 = 16;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 8 - √16) / 2 * 4 = ( - 8 - 4) / 8 = - 12 / 8 = - 1 1/2;

y2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 8 + √16) / 2 * 4 = ( - 8 + 4) / 8 = - 4 / 8 = - 1/2;

Подставим значения:

Если у1 = - 1 1/2, то:

log ₄ х = - 1 1/2;

х = 4 ^ ( - 3/2) = 1/√ (4^3);

x1 = 1/8;

Если у2 = - 1/2, то:

log ₄ х = - 1/2;

х = 4 ^ ( - 1/2) = 1/√4;

x2 = 1/2;

Ответ: х1 = 1/8, х2 = 1/2.