В группе 22 человека. сколькими способами можно выбрать три команды из 3 человек для участия в олимпиадах по информатике, по психологии и по математике, если все олимпиады проходят одновременно?

Вариант 1.

Выберем первую команду. Для этого найдем число сочетаний из 22 элементов по 3. Воспользуемся формулой

С = n! / ((n-k) ! * k!), где n = 22, k = 3:

С = 22! / ((22-3) ! * 3!) = 22! / (19! * 3!) = 20 * 21 * 22 / (2 * 3) = 20 * 7 * 11 = 1540;

Теперь из оставшихся 19 студентов выберем вторую команду, пользуясь той же формулой:

С = 19! / ((19-3) ! * 3!) = 19! / (16! * 3!) = 17 * 18 * 19 / (2 * 3) = 17 * 19 * 3 = 969;

И из последних 16 - третью команду:

С = 16! / ((16-3) ! * 3!) = 16! / (13! * 3!) = 14 * 15 * 16 / (2 * 3) = 14 * 8 * 5 = 560;

Общее число способов - это произведение всех трех величин:

1540 * 969 * 560 = 835 665 600.

Теперь учтем, что каждая команда может оказаться на одной олимпиаде из трех. Домножим полученную величину на число перестановок местами трех команд:

А = 3! = 1 * 2 * 3 = 6;

835 665 600 * 6 = 5 013 993 600

Ответ: 5 013 993 600 способов.

Вариант 2.

Выберем из 22 студентов общую команду в девять человек. Для этого найдем число сочетаний из 22 элементов по 9. Воспользуемся формулой С = n! / ((n-k) ! * k!), где n = 22, k = 3:

С = 22! / ((22-9) ! * 9!) = 22! / (13! * 9!) = 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 * 21 * 22 / (2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9) = 497 420;

Из полученной девятки сформируем три команды по три студента.

Первая тройка: находим число сочетаний из 9 по 3:

С = 9! / ((9-3) ! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 7 * 8 * 9 / (2 * 3) = 4 * 7 * 3 = 84;

Из оставшихся шести студентов сформируем вторую команду:

С = 6! / ((6-3) ! * 3!) = 6! / (3! * 3!) = 4 * 5 * 6 / (2 * 3) = 4 * 5 = 20;

Третья команда - это оставшиеся студенты, она получается единственным способом. Перемножая полученные величины, получаем результат:

497420 * 84 * 20 = 835 665 600.

Мы набрали три команды, теперь отправим их на разные олимпиады, то есть учтем число перестановок трех команд.

А = 3! = 1 * 2 * 3 = 6;

835 665 600*6=5 013 993 600

Ответ: 5 013 993 600 способов.