Найдите производную функции y=exp (x) / (1+exp (x)) и вычислите y' (0)

Найдём производную данной функции: y = e^x / (1 + e^x).

Воспользовавшись формулами:

(e^x) ' = e^x (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

u / v) ' = (u'v - uv') / v² (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (e^x / (1 + (e^x)) ' = ((e^x) ' * (1 + (e^x)) - ((e^x) * (1 + (e^x) ') / (1 + e^x) ^2 = ((e^x) * (1 + (e^x)) - ((e^x) * (e^x)) / (1 + e^x) ^2 = ((e^x) * (1 + (e^x)) - (e^x)) / (1 + e^x) ^2 = ((e^x) * 1) / (1 + e^x) ^2 = (e^x) / (1 + e^x) ^2.

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

y' (0) = (e^0) / (1 + e^0) ^2 = 1 / (1 + 1) ^2 = 1 / 2^2 = 1 / 4.

Ответ: y' = (e^x) / (1 + e^x) ^2, a y' (0) = 1 / 4.