Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы. y=2/3x√x - 2x

1. Область определения:

y = 2/3 * x√x - 2x;

x ≥ 0; x ∈ [0; ∞).

2. Критические точки:

y = 2/3 * x√x - 2x; y = 2/3 * x^ (3/2) - 2x; y' = 2/3 * 3/2 * x^ (1/2) - 1; y' = √x - 1; √x - 1 = 0; √x = 1; x = 1.

3. Монотонность функции:

a) x ∈ [0; 1), y' <0; b) x ∈ (1; ∞), y'> 0.

4. Экстремумы:

x = 1 - точка минимума; y = 2/3 * x√x - 2x; ymin = y (1) = 2/3 * 1 * √1 - 2 * 1 = 2/3 - 6/3 = - 4/3.

Ответ:

1) функция убывает на промежутке: [0; 1]; 2) функция возрастает на промежутке: [1; ∞); 3) минимум функции: - 4/3.