Найти целочисленные решения: 1) 7 х+2 у=1 2) 7 х-12 у=1

Задание состоит из двух частей, в каждой из которых требуется найти целочисленные решения линейного данного уравнения с двумя переменными х и у. Решим каждое уравнение по отдельности.

Рассмотрим уравнение 7 * х + 2 * у = 1. Представим данное уравнение в виде 2 * у = 1 - 7 * х. Такой вид уравнения позволяет утверждать, что правая часть полученного уравнения, то есть, выражение 1 - 7 * х должно быть чётным числом. Такого результата можно достичь только при нечётных х, так как 7 - нечётное число, при перемножении с любым нечётным х произведение будет нечётным, тогда разность 1 - 7 * х окажется чётным. Отсюда вывод: Данное уравнение имеет бесконечно много пар решений, которые определяются следующим образом: сначала выбирается любое нечётное число х, а затем у вычисляется по формуле у = (1 - 7 * х) : 2. Например, при х = - 3, имеем: у = (1 - 7 * (-3)) : 2 = (1 + 21) : 2 = 11, то есть решением данного уравнения является пара чисел (-3; 11). Рассмотрим уравнение 7 * х - 12 * у = 1. Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например, x₀ = 7, y₀ = 4. Тогда 7 * х₀ - 12 * у₀ = 1, откуда 7 * (х - х₀) - 12 * (у - у₀) = 0 или 7 * (х - х₀) = 12 * (у - у₀). Поскольку число 7 простое а 12 = 2 * 2 * 3, то числа 7 и 12 являются взаимно простыми числами. Это означает, сто всегда найдётся такое целое k, для которого справедливы равенства: х - x₀ = 12 * k и у - y₀ = 7 * k. Значит, общее решение можно представить в виде: х = 7 + 12 * k и у = 4 + 7 * k, где k - произвольное целое число.