Проведите полное исследование функции y=x^3-6x^2

Решение задачи:

Область определения: вся числовая ось.

1) Найдем точки пересечения с осью координат X (то есть с осью абсцисс). Для этого переменную y приравняем к нулю: y = 0.

x^3 - 6 * x^2 = 0.

Вынесем x^2 за скобку:

x^2 * (x - 6) = 0;

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

x^2 = 0 или x - 6 = 0;

x = 0 или x = 6.

Точки (0; 0), (6; 0) - точки пересечения с осью 0X.

2) График функции пересекает ось ординат, когда x = 0.

y = 0^3 - 6 * 0^2;

y = 0.

Точка (0; 0) - точка пересечения с осью 0Y.

3) Для нахождения экстремумов функции необходимо найти производную и приравнять ее к нулю.

y' = (x^3 - 6 * x^2) ' = 0;

3 * x^2 - 12 * x = 0;

x = 0 или x = 4.

y (0) = 0.

y (4) = - 32.

(0; 0) и (4; - 32) - экстремумы функции.

4) Проверка на четность (нечётнос ть):

y ( - x) = ( - x) ^3 - 6 * ( - x) ^2 = - x^3 - 6 * x.

Следовательно, функция ни четная ни нечетная.

5) Функция убывает на промежутках: ( - оо; 0] и [4; + оо).

Убывает на [0; 4].

6) Точки перегиба:

y'' = 0;

(x^3 - 6 * x^2) '' = 0;

6 * x - 12 = 0;

x = 2 - точка перегиба.

Функция вогнута на [2; + оо) и выгнута на ( - оо; 2].