проведите исследование функции (х+1) ^2 (2-х)

1) Найдем область определения и область значений.

D (f) = R, х любое число;

E (f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; (х + 1) ^2 (2 - х) = 0.

х + 1 = 0; х = - 1.

2 - х = 0; х = 2.

График функции пересекает ось х в точках - 1 и 2.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0;

у = (0 + 1) ^2 (2 - 0) = 1 * 2 = 2.

Точка пересечения с осью у (0; 2).

3) Определим четность функции.

f (x) = (х + 1) ^2 (2 - х);

f ( - x) = (-х + 1) ^2 (2 - (-х)) = (1 - х) ^2 (2 + х).

f (x) не равно f ( - x), f (x) не равно - f ( - x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

Так как график пересекает ось х в точках - 1 и 2.

(-∞; - 1) пусть х = -2; у = (-2 + 1) ^2 (2 - (-2)) = 1 * 4 = 4, положительное число.

(-1; 2) пусть х = 0; у = (0 + 1) ^2 (2 - 0) = 1 * 2 = 2, положительное число.

(2; + ∞) пусть х = 3; (3 + 1) ^2 (2 - 3) = 16 * (-1) = - 16, отрицательное число.

у > 0 на промежутках (-∞; - 1) и (-1; 2);

у < 0 на промежутке (2; + ∞).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции:

f (x) = (х + 1) ^2 (2 - х);

f' (x) = ((х + 1) ^2) ' (2 - х) + (х + 1) ^2 (2 - х) ' = 2 (х + 1) * (х + 1) ' * (2 - х) + (х^2 + 2 х + 1) * (-1) = (2 х + 2) (2 - х) - (х^2 + 2 х + 1) = 4 х + 4 - 2 х^2 - 2 х - х^2 - 2 х - 1 = - 3 х^2 + 3.

Приравняем производную к нулю.

-3 х^2 + 3 = 0;

-3 х^2 = - 3;

х^2 = 1;

х = √1; х = - 1 и х = 1.

(-∞; - 1) пусть х = - 2; - 3 * (-2) ^2 + 3 = - 3 * 4 + 3 = - 9. Производная (-), функция убывает.

(-1; 1) пусть х = 0; - 3 * 0^2 + 3 = 0 + 3 = 3. Производная (+), функция возрастает.

(1; + ∞). пусть х = 2; - 3 * 2^2 + 3 = - 12 + 3 = - 9. Производная (-), функция убывает.

Значит, х = - 1 и х = 1 это точки экстремума.

х = - 1 это точка минимума, х = 1 это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

х = - 1; у = (х + 1) ^2 (2 - х) = (-1 + 1) ^2 (2 - (-1)) = 0 * 3 = 0.

х = 1; у = (1 + 1) ^2 (2 - 1) = 4 * 1 = 4.

Экстремумы функции у = 0 и у = 4.