Полное исследование функции X2-2x+2/x-1

f (x) = (х^2 - 2x + 2) / (x - 1).

1) Найдем область определения и область значений.

(х - 1) не равно нулю (делить на ноль нельзя);

D (f) = R, кроме х = 1.

E (f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; (х^2 - 2x + 2) / (x - 1) = 0; х^2 - 2x + 2 = 0.

D = 4 - 8 = - 4 (нет корней).

График функции не пересекает ось х, парабола находится выше оси х.

3) Определим четность функции.

f (x) = (х^2 - 2x + 2) / (x - 1);

f ( - x) = ((-х) ^2 - 2 (-x) + 2) / (-x - 1) = (х^2 + 2x + 2) / (-x - 1);

f (x) не равно f ( - x), f (x) не равно - f ( - x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

Так как график не пересекает ось х, значит у > 0 на всем своем протяжении.

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции

f (x) = (х^2 - 2x + 2) / (x - 1);

f' (x) = ((х^2 - 2x + 2) ' (x - 1) - (х^2 - 2x + 2) (x - 1) ') / (x - 1) ^2 = (х^2 - 2x) / (x - 1) ^2.

Приравняем производную к нулю.

(х^2 - 2x) / (x - 1) ^2 = 0;

x - 1 не равно нулю, х не равно - 1;

х^2 - 2x = 0; х (х - 2) = 0; х = 0 и х = 2.

(-~; - 1) +, функция возрастает;

(-1; 0) +, функция возрастает;

(0; 2) -, функция убывает;

(2; ~) +, функция возрастает.