Из одинаковых на вид монет мудрец может найти единственную фальшивую, сделав всего 4 взвешивания на чашечных весах без гирь. Какое наибольшее число монет может быть у Мудреца, если известно, что фальшивая монета более легкая?

Наибольшее число монет для одного взвешивания

Для начала исследуем - из скольких монет мудрец может найти единственную фальшивую монету одним взвешиванием?

Если у мудреца всего три монеты, то положив на каждую чашу весов по одной монете, он сможет определить фальшивую монету:

если одна чаша весов легче другой, то на этой чаше и будет фальшивая монета;

если же весы находятся в равновесии, то фальшивой будет третья монета.

Очевидно, что если у мудреца четыре монеты, то одним взвешиванием он никак не может найти единственную фальшивую монету, следовательно, наибольшее число монет для одного взвешивания - 3.

Наибольшее число монет для двух взвешиваний

Теперь рассмотрим случай двух взвешиваний. Соображение такое, что первым взвешиванием наш мудрец должен определить группу из трех монет, в которой находится фальшивая, а вторым взвешиванием, как было показано выше, из трех монет он уже сможет определить фальшивую.

Понятно, что максимальное число монет в данном случае - 9. Мудрец на каждую чашу весов кладет по три монеты, и таким же образом, как и в случае трех монет (для одного взвешивания), определяет тройку монет, в которой находится фальшивая монета.

Наибольшее число монет для n взвешиваний

Из этих двух примеров следует, что каждым взвешиванием мудрец может уменьшить число монет до трех раз, а значит для n взвешиваний наибольшее число монет N (n) можно вычислить по формуле:

N (n) = 3ⁿ;

N (1) = 3¹ = 3; N (2) = 3² = 9; N (3) = 3³ = 27; N (4) = 3⁴ = 81.

Ответ: наибольшее число монет для четырех взвешиваний - 81.

Решаем с конца.

На последнем этапе - 4-м, мудрец может выбрать фальшивую монету из трех монет. Если весы уравновесятся при одной монете в каждой чашке, значит фальшивая третья. Если на весы попадет фальшивая монета, то она окажется легче.

3-й этап. Мудрец, взвешивая по три монеты решит, в какой из 3 групп находится фальшивая. Алгоритм тот же что и в шаге 4. Всего: 3 * 3 = 9 монет.

2-й этап. Мудрец будет искать группу с фальшивой монетой среди 3 групп монет по 9 монет в каждой (9 * 3 = 27).

1-й этапе мудрец будет выбирать фальшивую группу между 3 группами по 27 монет.

Всего монет: 27 * 3 = 81.

Ответ: 81.