При каком значении а функция у=1/3 х³+ах²+х возрастает

1. Найдем производную функции:

у = 1/3 * х^3 + ах^2 + х; у' = х^2 + 2 ах + 1.

2. Для того, чтобы функция была возрастающая на всем множестве действительных чисел, необходимо, чтобы производная функции принимала только неотрицательные значения:

х^2 + 2 ах + 1 ≥ 0. (1)

3. Неравенство (1) верно при любом значении x, если квадратный трехчлен не имеет двух корней, т. е. дискриминант меньше или равен нулю:

D = (2a) ^2 - 4 * 1 = 4a^2 - 4 = 4 (a^2 - 1); 4 (a^2 - 1) ≤ 0; a^2 - 1 ≤ 0; a^2 ≤ 1; a ∈ [-1; 1].

Ответ: [-1; 1].