Как решить систему? 1/х+1/у=1/3 ху=-18

Выразим переменную у со второго равенства.

у = - 18 / х.

Подставим найденное значение у в первое равенство.

1 / х + 1 / (-18 / х) = 1 / 3.

1 / х - 1 * х / 18 = 1 / 3.

1 / х - х / 18 = 1 / 3.

Умножим все слагаемые на выражение 18 * х.

1 * 18 * х / х - х * 18 * х / 18 = 1 * 18 * х / 3.

18 - х² = 6 * х.

- х² - 6 * х + 18 = 0.

х² + 6 * х - 18 = 0.

Решим квадратное равнение.

D = 6² - 4 * 1 * (-18) = 36 + 72 = 108.

х₁ = (-6 - √108) / (2 * 1) = (-6 - 6 * √3) / 2 = - 3 - 3 * √3.

x₂ = (-6 + √108) / (2 * 1) = (-6 + 6 * √3) / 2 = - 3 + 3 * √3 = 3 * √3 - 3.

y₁ = - 18 / (-3 - 3 * √3).

y₂ = -18 / (3 * √3 - 3).

Для проверки найденных значений вычислим приближенные значения и подставим в систему уравнений.

х₁ = - 3 - 3 * √3 ≈ - 3 - 3 * 1,732 ≈ - 3 - 5,196 ≈ - 8,196;

y₁ = - 18 / (-8,196) ≈ 2,196.

1 / (-8,196) + 1 / 2,196 = 1 / 3; - 0,122 + 0,455 = 0,333; 0,333 = 0,333.

-8,196 * 2,196 = - 18; - 18 = - 18.

Для х₁ = - 3 - 3 * √3 ≈ - 8,196 и y₁ = - 18 / (-3 - 3 * √3) ≈ 2,196 система уравнений выполняется.

х₂ = 3 * √3 - 3 ≈ 3 * 1,732 - 3 ≈ - 5,196 - 3 ≈ 2,196;

y₂ = - 18 / 2,196 ≈ - 8,196.

1 / 2,196 + 1 / (-8,196) = 1 / 3; 0,455 - 0,122 = 0,333; 0,333 = 0,333.

2,196 * (-8,196) = - 18; - 18 = - 18.

Для х₂ = 3 * √3 - 3 ≈ 2,196 и y₂ = - 18 / (3 * √3 - 3) ≈ - 8,196 система уравнений тоже выполняется.

Ответ: х₁ = - 3 - 3 * √3 ≈ - 8,196 и y₁ = - 18 / (-3 - 3 * √3) ≈ 2,196; х₂ = 3 * √3 - 3 ≈ 2,196 и y₂ = - 18 / (3 * √3 - 3) ≈ - 8,196.