Найти ряд Макларена для функции ln (1+x)

При изучении теории функций особое место занимает, так называемый степенной ряд Маклорена (ударение на второй слог, Колин Маклорен - шотландский математик.). Этот ряд считается частным случаем степенного ряда Тэйлора (ударение на первый слог) и на практике очень часто используется. В связи с этим, для некоторых элементарных функций, в частности, и для данной функции y = ln (1 + x), имеются готовые разложения. По требованию задания, используя формулу (её, из-за громоздкости, не приведём) разложения функции в ряд Тэйлора, разложим функцию у (х) = ln (1 + x) в ряд Маклорена, ограничиваясь первыми пятью членами разложения. Имеем: у (0) = ln (1 + 0) = ln1 = 0; уꞋ (х) = (ln (1 + x)) Ꞌ = 1 / (1 + x), уꞋ (0) = 1 / (1 + 0) = 1; уꞋꞋ (х) = (1 / (1 + x)) Ꞌ = - 1 / (1 + x) ², уꞋꞋ (0) = - 1 / (1 + 0) ² = - 1; уꞋꞋꞋ (х) = (-1 / (1 + x) ²) Ꞌ = 2 / (1 + x) ³, уꞋꞋꞋ (х) = 2 / (1 + 0) ³ = 2; у^IV (х) = (2 / (1 + x) ³) Ꞌ = - 6 / (1 + x) ⁴, у^IV (х) = - 6 / (1 + 0) ⁴ = - 6. Тогда, у (х) = ln (1 + x) = у (0) + (уꞋ (0) / 1!) * х + (уꞋꞋ (0) / 2!) * х² + (уꞋꞋꞋ (0) / 3!) * х³ + (у^IV (0) / 4!) * х⁴ + ... Следовательно, ln (1 + x) = 0 + (1 / 1!) * х + (-1 / 2!) * х² + (2 / 3!) * х³ + (-6 / 4!) * х⁴ + ... = x - х² / 2 + х³ / 3 - х⁴ / 4 + ...

Ответ: ln (1 + x) = x - х² / 2 + х³ / 3 - х⁴ / 4 + ...