Найти частные производные второго порядка z=xy^2-x^2y

Найдем частные производные второго порядка z = x * y ^ 2 - x ^ 2 * y.

dz/dx = d (x * y ^ 2 - x ^ 2 * y) / dx = y ^ 2 * x ' - (x ^ 2) ' * y = y ^ 2 * 1 - 2 * x * y = y ^ 2 - 2 * x * y;

d ^ 2 z/dx ^ 2 = d (y ^ 2 - 2 * x * y) / dx = 0 - 2 * y * x ' = - 2 * y * x ' = - 2 * y * 1 = - 2 * y;

dz/dy = d (x * y ^ 2 - x ^ 2 * y) / dy = x * (y ^ 2) ' - x ^ 2 * y ' = x * 2 * y - x ^ 2 * 1 = 2 * x * y - x ^ 2;

d ^ 2 z/dy ^ 2 = d (2 * x * y - x ^ 2) / dy = 2 * x * y ' - 0 = 2 * x * y ' = 2 * x * 1 = 2 * x;

В итоге получили, d ^ 2 z/dx ^ 2 = - 2 * у и d ^ 2 z/dy ^ 2 = 2 * х.