Найти частные производные 2 порядка функции z = 3sinx + 7x⁴y³ - 2x + 5e^y

1) Вычислим производные первого порядка:

z = 3sinx + 7x^4y^3 - 2x + 5e^y; dz/dx = 3cosx + 28x^3y^3 - 2; dz/dy = 21x^4y^2 + 5e^y.

2) Производные второго порядка:

d^2z/dx^2 = d (3cosx + 28x^3y^3 - 2) / dx = - 3sinx + 84x^2y^3; d^2z/dy^2 = d (21x^4y^2 + 5e^y) / dy = 42x^4y + 5e^y.

Смешанные производные найдем в обоих направлениях для сравнения:

d^2z/dydx = d (3cosx + 28x^3y^3 - 2) / dy = 84x^3y^2; d^2z/dxdy = d (21x^4y^2 + 5e^y) / dx = 84x^3y^2.

Ответ:

d^2z/dx^2 = - 3sinx + 84x^2y^3; d^2z/dy^2 = 42x^4y + 5e^y; d^2z/dydx = d^2z/dxdy = 84x^3y^2.