Решить уравнение х^4-2 х^3-х^2-2 х+1=0

Уравнение данного вида называют возвратным уравнением четвертого порядка.

Проверим, что х = 0 не является корнем этого уравнения:;

0^4-2*0^3-0^2-2*0+1=1;

Так как х = 0 не является корнем этого уравнения, обе части уравнения можно разделить на х^2:;

x^2-2x-1-2/x+1/x^2=0;

Сгруппируем значение с x^2 b x:;

x^2+1/x^2-2 (x-1/x) - -1=0;

Произведем замену:;

x-1/x=y;

Тогда,;

y^2=x^2+1/x^2-2;

отсюда y^2+2 = x^2+1/x^2;

Получим квадратное уравнениe:;

y^2+2-2*y-1=0;

y^2-2*y+1=0;

Решаем его:;

D=2^2-4*1*1=0, значит корни уравнения равны,;

y1=y2=2/2=1;

Возвращаемся к замене:;

x-1/x=1;

Умножая выражение на х, получим:;

x^2-1-x=0;

Решаем данное квадратное уравнение:;

D=1^2-4*1 * (-1) = корень (5),;

x1 = (1 - корень (5)) / 2

x2 = (1 + корень (5)) / 2