В математической олимпиаде учасвовало 20 ученико. Известно, что среди любых 10 участников есть хотя бы одни мальчик, а среди любых 12 участников есть хотя бы одна девочка. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в олимпиаде? Ответ обоснуйте.

Пусть количество мальчиков М, а число девочек Д.

Тогда по условиям задания М + Д = 20.

Поскольку среди любых 10 учеников должен быть хотя бы 1 мальчик, получаем следующее утверждение.

М > Д и М > 10.

Если предположить, что М ≤ 10, то найдутся как минимум 10 девочек, среди которых не окажется ни одного мальчика. Поэтому число мальчиков не может быть меньше или равно 10. Таким образом, получаем М > 10.

Поскольку среди любых 12 учеников найдется хотя бы 1 девочка, получаем следующее утверждение.

Д < М, М < 12.

Если предположить, что М ≥ 12, тогда найдутся такие 12 мальчиков, среди которых не окажется ни одной девочки. Поэтому число мальчиков не может быть больше или равно 12. Таким образом, получаем М < 12.

Учитывая, что 10 < М < 12, получаем единственное значение М = 11.

Тогда Д = 20 - 11 = 9.

Ответ: 11 мальчиков и 9 девочек.