Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена n^3 - n делится на 24.

Разложим данное выражение на множители:

n^3 - n = n * (n^2 - 1) = n * (n - 1) * (n + 1) =

= (n - 1) * n * (n + 1).

Мы получили, что данное выражение при любом n есть произведение трёх последовательных натуральных чисел. Одно из них будет обязательно делиться на 3, а значит и все выражение будет делиться на 3.

Если n - нечетное число, то его можно представить в виде:

n = 2 * k + 1, k - натуральное число.

Подставим это представление в разложение исходного выражения:

(n - 1) * n * (n + 1) = 2 * k * (2 * k + 1) * (2 * k + 2) =

= (2 * k + 1) * 4 * k * (k + 1).

Так как k и (k + 1) два последовательных натуральных числа, то одно из них обязательно делится на 2. Следовательно, все выражение будет делится на 4 * 2 = 8.

Мы доказали делимость выражения на 3 и на 8, а значит и делимость на 3 * 8 = 24.