Решите неравенство 7^ (x2-2x-8/x+6) больше или равно 1.

Рассмотрим неравенство 7 ^{(x² - 2 * x - 8) / (x + 6)} ≥ 1. Прежде чем решить данное неравенство, заметим, что оно имеет смысл, если х + 6 ≠ 0. Предположим, что х ≠ - 6. Используя равенство 7⁰ = 1 и свойства степеней, имеем 7 ^{(x² - 2 * x - 8) / (x + 6)} ≥ 7⁰, откуда (x² - 2 * x - 8) / (x + 6) ≥ 0. Рассмотрим два случая: а) х ∈ (-∞; - 6) и б) х ∈ (-6; + ∞). Пусть выполняется случай а) x + 6 < 0. Следовательно, умножая обе части последнего неравенства на x + 6 < 0, получим неравенство: x² - 2 * x - 8 ≤ 0. Решим его. Для этого, сначала решим квадратное уравнение x² - 2 * x - 8 = 0. Вычислим дискриминант квадратного уравнения: D = (-2) ² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36. Поскольку D > 0, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (2 - √ (36)) / (2 * 1) = (2 - 6) / 2 = - 4/2 = - 2 и x₂ = (2 + √ (36)) / (2 * 1) = (2 + 6) / 2 = 8/2 = 4. Значит, исследуемое неравенство можно переписать в виде (х + 2) * (х - 4) ≤ 0. Это неравенство имеет решение [-2; 4]. Поскольку [-2; 4] ∩ (-∞; - 6) = ∅, то в этом случае, исследуемое неравенство не может выполняться. Рассмотрим случай б) х + 6 > 0. Тогда, умножая обе части исследуемого неравенства на x + 6 > 0, получим неравенство: x² - 2 * x - 8 ≥ 0. Решим его. Воспользуемся результатами предыдущего пункта. Тогда, имеем следующее решение последнего неравенства (-∞; - 2] ∪ [4; + ∞). Вычислим пересечение ((-∞; - 2] ∪ [4; + ∞)) ∩ (-6; + ∞) = (-6; - 2] ∪ [4; + ∞).

Ответ: х ∈ (-6; - 2] ∪ [4; + ∞).