1) Докажите, что число 4n^3+17n делится на 3.

Перепишем данное выражение в следующем виде 4 * n³ + 17 * n = 3 * n³ + (n³ + 17 * n). Очевидно, при любом целом n значение выражения 3 * n³ делится на 3. Как известно, если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3. В связи с этим, для того, чтобы выполнить требование задания, достаточно доказать, что при любом целом n значение выражения А = n³ + 17 * n = n * (n² + 17) делится на 3. Очевидно, любое целое число n можно представить либо в виде n = 3 * k, либо в виде n = 3 * k + 1, либо в виде n = 3 * k + 2, где k - некоторое целое число. Рассмотрим каждый случай по отдельности. Пусть n = 3 * k. Тогда А = n * (n² + 17) = (3 * k) * ((3 * k) ² + 17). Ясно, что полученное выражение при любом целом k делится на 3. Пусть n = 3 * k + 1. Тогда А = (3 * k + 1) * ((3 * k + 1) ² + 17). Воспользуемся формулой сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы). Тогда имеем (3 * k + 1) ² + 17 = 3² * k² + 2 * 3 * k * 1 + 1² + 17 = 9 * k² + 6 * k + 18 = 3 * (3 * k² + 2 * k + 6). Значит, А = 3 * (3 * k + 1) * (3 * k² + 2 * k + 6). Стало очевидно, что полученное выражение при любом целом k делится на 3. Пусть n = 3 * k + 2. Тогда А = (3 * k + 2) * ((3 * k + 2) ² + 17). Аналогично, имеем (3 * k + 2) ² + 17 = 3² * k² + 2 * 3 * k * 2 + 2² + 17 = 9 * k² + 12 * k + 21 = 3 * (3 * k² + 4 * k + 7). Следовательно, А = 3 * (3 * k + 2) * (3 * k² + 4 * k + 7). В этом случае также полученное выражение при любом целом k делится на 3. Основываясь на вышеприведённые теоретические выкладки, сможем утверждать, что при любом целом n значение выражения 4 * n³ + 17 * n делится на 3. Что и требовалось доказать.