Найти интервалы возрастания и убывания функции: у=х³-3 х

Сначала найдем точки экстремума. В них производная функции принимает значение ноль.

y' (x) = (х³ - 3 х) ' = (х³) ' - (3 х) ' = 3x² - 3.

y' (x) = 0 при 3x² - 3 = 0, что равносильно 3x² = 3 и x² = 3/3 = 1.

Значит, y' (x) = 0 при x = 1 и при x = - 1.

Значит функция монотонна на интервалах (-∞; - 1), (-1; 1) и (1; + ∞).

Найдем знаки производной на указанных интервалах.

x < - 1: y' (-2) = 3 * (-2) ² - 3 = 3 * 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0.

-1 < x < 1: y' (0) = 3 * 0 - 3 = - 3 < 0.

x > 1: y' (2) = 3 * 2² - 3 = 3 * 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0.

Следовательно, на интервале x ∈ (-∞; - 1) U (1; + ∞) функция возрастает.

А на интервале x ∈ (-1; 1) функция убывает.