Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: y=3/2 * (x^2/3) - x

Решение задачи:

Y = 3 / 2 * (x^ (2 / 3)) - x.

1) Найдем экстремумы функции y:

dy (x) / dx = 0;

dy (x) / dx = 3 / 2 * 2 / 3 * x^ (2 / 3 - 1) - 1 = x^ ( - 1 / 3) - 1 = 0 = - 1 + 1 / x^ (1 / 3).

Решаем полученное уравнение:

( - x^ (1 / 3) + 1) / (x^ (1 / 3)) = 0;

- x^ (1 / 3) + 1 = 0;

x = 1.

Подставляем найденное значение в исходное уравнение и получаем: y = 1 / 2.

Следовательно, точка (1; 1 / 2) - точка экстремума.

2) Найдем интервалы монотонности:

(1; 1 / 2) - точка максимума.

Функция убывает на промежутке ( - бесконечность; 1), и возрастает на (1; + бесконечность).