в математическом кружке у каждого есть ровно один друг и ровно один враг. Доказать, что в кружке четное количество человек.

Предположим, что в математическом кружке нечетное количество человек.

Заметим, что выбрав любого члена кружка, нам будет известно, что у него есть ровно один друг. Выберем из членов кружка этого друга.

В выбранной паре каждый является друг другу другом. Других друзей у них, по условию задачи, быть не может.

Продолжим выбирать из оставшихся членов кружка пары друзей.

Таким образом, мы разобьём весь кружок на пары друзей.

Но по предположению, членов в кружке нечетное количество.

После разбиения на пары друзейостанется один человек, который не может быть никому другом и сам не имеет друзей. Получили противоречие, что и требовалось доказать.