В турнире математических боѐв каждая из 15 команд-участниц провела не менее 7 игр. Докажите, что для любых двух команд А и В верно следующее утверждение: либо они сыграли матч между собой, либо есть команда С, которая провела математические бои и с А и с В.

Проведем доведение утверждения методом "от противного". Пускай из 15-ти команд, любые взятые на выбор А и В не играли матч между собой. Тогда доведем тот факт, что и нету такой команды С, которая провела математические бои и с А, и с В. Получается, каждая с двух команд (А и В) провела матчи с семью другими командами. Если эти матчи были без повторений (ни разу команда А и команда В не проводили матч дважды с одной и той же командой), то получается, что всего в матчах сыграло 16 команд: А + 7 команд и В + 7 команд. А это противоречит условиям задачи, где сказано, что команд участниц было всего 15. Отсюда следует, что, если А и В не сыграли матч вместе, то хотя бы одна комманда с 13, что остались, обязательно должна сыграть и с командой А и с командой В. Вывод: утверждение верно, для любых А и В с 15 команд-участниц турнира.