2sin^2x+cos4x=0 (5 п/2; 3 п)

2 * sin^2 x + cos (4 * x) = 0. Найдем корни уравнения на отрезке (5 * п/2; 3 * п).

Используем формулы:

cos (2 * x) = cos^2 x - sin^2x; cos (2 * x) = 2 * cos ^2 x - 1 = 1 - 2 * sin^2 x;

Так как, cos (2 * x) = 1 - 2 * sin^2 x, тогда выразим чему равно 2 * sin^2 x.

2 * sin^2 x = 1 - cos (2 * x).

Подставляя в уравнение, получим:

1 - cos (2 * x) + cos (4 * x) = 0;

1 - cos (2 * x) + cos^2 (2 * x) - sin^2 (2 * x) = 0;

1 - cos (2 * x) + cos^2 (2 * x) - (1 - cos^2 (2 * x)) = 0;

1 - cos (2 * x) + cos^2 (2 * x) - 1 + cos^2 (2 * x) = 0;

-cos (2 * x) + cos^2 (2 * x) + cos^2 (2 * x) = 0;

2 * cos^2 (2 * x) - cos (2 * x) = 0;

cos (2 * x) * (2 * cos (2 * x) - 1) = 0;

1) cos (2 * x) = 0;

2 * x = pi/2 + pi * n, n принадлежит Z;

x = pi/4 + pi/2 * n, n принадлежит Z;

К промежутку (5 * pi/2; 3 * pi) находится корень х = 11 * pi/4.

2) 2 * cos (2 * x) - 1 = 0;

2 * cos (2 * x) = 1;

cos (2 * x) = 1/2;

2 * x = + - pi/3 + 2 * pi * n, n принадлежит Z;

x = + - pi/6 + 2 * pi * n, n принадлежит Z;

x = + pi/6 + 2 * pi * n нет корней в промежутке (5pi/2; 3pi);

x = - pi/6 + 2 * pi * n - промежутке (5pi/2; 3pi) есть корень х = 17 * pi/6;

Ответ: х = 11 * pi/4 и х = 17 * pi/6.