Три угла четырехугольника вписанного в окружность взятые в порядке следования относятся как 2:6:7

Пусть дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Если x - коэффициент пропорциональности, тогда ∠A = 2 * x, ∠B = 6 * x, ∠C = 7 * x.

1. В окружность можно вписать только такой четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон попарно равны, то есть в данном по условию четырехугольнике ABCD должно выполняться равенство:

∠A + ∠C = ∠B + ∠D.

Известно, что сумма всех углов четырехугольника равна 360°, тогда:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

Подставим данные по условию значения в оба выражения:

2 * x + 7 * x = 6 * x + ∠D;

2 * x + 6 * x + 7 * x + ∠D = 360°.

Мы получили системы линейных уравнений с двумя переменными.

Приведем подобные слагаемые в первом уравнении и выразим ∠D:

2 * x + 7 * x - 6 * x = ∠D;

∠D = 3 * x.

Приведем подобные слагаемые во втором уравнении и выразим ∠D:

∠D = 360° - 2 * x - 6 * x - 7 * x;

∠D = 360° - 15 * x.

Приравняем оба выражения:

3 * x = 360° - 15 * x;

3 * x + 15 * x = 360°;

18 * x = 360°;

x = 360°/18;

x = 20°.

2. Найдем градусные меры углов:

∠A = 2 * x = 2 * 20° = 40°.

∠B = 6 * x = 6 * 20° = 120°.

∠C = 7 * x = 7 * 20° = 140°.

∠D = 3 * x = 3 * 20° = 60°.