Найдите такое наименьшее n, что сумма чисел от 1 до n делится на 2012

Последовательность целых чисел от 1 до n является арифметической прогрессией с разностью, равной 1 и первым членом, также равным 1.

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии с первого по n-й включительно, находим сумму этих n чисел:

Sn = (2 * 1 + 1 * (n - 1)) * n / 2 = (2 + n - 1) * n / 2 = (n - 1) * n / 2.

Представим число 2012 в виде произведения простых сомножителей:

2012 = 2 * 1006 = 2 * 2 * 503.

Так как число 503 простое, то для того, чтобы выражение (n - 1) * n / 2 делилось на 2012, либо n - 1, либо n должно делиться на 503.

Будем подбирать значения n, начиная с наименьшего возможного.

Пусть n = 503.

Так как выражение n - 1 = 503 - 1 = 502 не делится на 4, то выражение (n - 1) * n / 2 при n = 503 не будет делиться на 2012.

Пусть n - 1 = 503.

Тогда n = 503 + 1 = 504.

Так как число 504 делится на 8, то выражение 503 * 504 / 2 = 126756 делится на 2012.

Следовательно, наименьшее значение n, при котором выражение (n - 1) * n / 2 делится на 2012 это 504.

Ответ: n = 504.