Какая последняя цифра суммы 1+2012+2012" (в квадрате) + 2012 (в кубе) ... + 2012 (в 2011 степени)

1. Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому достаточно найти последнюю цифру суммы чисел:

r = 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2011.

2. Составим сравнения по модулю 10 для степеней двойки:

2^1 ≡ 2 (mod 10); 2^2 ≡ 4 (mod 10); 2^3 ≡ - 2 (mod 10); 2^4 ≡ - 4 (mod 10); 2^5 ≡ 2 (mod 10); 2^6 ≡ 4 (mod 10); 2^7 ≡ - 2 (mod 10); 2^8 ≡ - 4 (mod 10).

3. Как видим, остатки повторяются через 4 степени, значит:

r = 1 + (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + ... + (2^2005 + 2^2006 + 2^2007 + 2^2008) + 2^2009 + 2^2010 + 2^2011; r = 1 + (2 + 4 - 2 + 4) + ... + (2 + 4 - 2 + 4) + (2 + 4 - 2); r = 1 + 0 + ... + 0 + 4 = 5.

Ответ: 5.