Log_0.2 (x^2-2x-3) ≤-1

В задании дано логарифмическое неравенство log_0,2 (х² - 2 * x - 3) ≤ - 1, а сопровождающее требование к нему отсутствует. Используя свойства логарифмов и неравенств, решим данное неравенство. Прежде всего, определим область допустимых значений неизвестного х. Как известно, понятие логарифма log_ab определено только для тех а и b, которые удовлетворяют условиям: а > 0, a ≠ 1, b > 0. Следовательно, данное неравенство имеет смысл, если х² - 2 * x - 3 > 0. Для того, чтобы решить это неравенство решим квадратное уравнение х² - 2 * x - 3 = 0. Его дискриминант равен D = (-2) ² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 > 0. Дискриминант больше нуля. Следовательно, корни квадратного уравнения: x₁ = (2 - √ (16)) / 2 = (2 - 4) / 2 = - 2/2 = - 1 и x₂ = (2 + √ (16)) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6/2 = 3. Имеем: (х + 1) * (х - 3) > 0. Это неравенство легко решается: х ∈ М, где М = (-∞; - 1) ∪ (3; + ∞). Итак, данное неравенство имеет смысл, если х ∈ М. Теперь используя равенство - 1 = log_0,20,2^-1, перепишем данное уравнение в виде log_0,2 (х² - 2 * x - 3) ≤ log_0,20,2^-1. Поскольку 0 < 0,2 < 1, то используя свойства логарифмической функции, получим: х² - 2 * x - 3 ≥ 1 / 0,2 или х² - 2 * x - 8 ≥ 0. Для того, чтобы решить это неравенство решим квадратное уравнение х² - 2 * x - 8 = 0. Его дискриминант равен D = (-2) ² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 > 0. Дискриминант больше нуля. Значит, корни квадратного уравнения: x₁ = (2 - √ (36)) / 2 = (2 - 6) / 2 = - 4/2 = - 2 и x₂ = (2 + √ (36)) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8/2 = 4. Имеем: (х + 2) * (х - 4) ≥ 0. Это неравенство даёт решение: х ∈ Р, где Р = (-∞; - 2] ∪ [4; + ∞). Таким образом, решением данного неравенства является пересечение М ∩ Р = ((-∞; - 1) ∪ (3; + ∞)) ∩ ((-∞; - 2] ∪ [4; + ∞)) = (-∞; - 2] ∪ [4; + ∞).

Ответ: х ∈ (-∞; - 2] ∪ [4; + ∞).