При каких значениях a и b выражение 10a^2 + 2b^2 + 6ab - 6a + 18b + 2016 принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?

1. Рассмотрим данное выражение как функцию от двух переменных и преобразуем его, выделив полные квадраты двучленов:

f (a, b) = 10a^2 + 2b^2 + 6ab - 6a + 18b + 2016; f (a, b) = (9a^2 + 6ab + b^2) + (a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 18b + 81) - 9 - 81 + 2016; f (a, b) = (3a + b) ^2 + (a - 3) ^2 + (b + 9) ^2 + 1926.

2. Квадраты двух последних двучленов обращаются в ноль при значениях переменных:

{a - 3 = 0;

{b + 9 = 0; {a = 3;

{b = - 9.

3. При этих значениях квадрат первого двучлена также обращается в ноль:

3a + b = 3 * 3 - 9 = 0.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в этих точках:

a = 3; b = - 9; fmin = 1926.

Ответ: a = 3; b = - 9; fmin = 1926.