Докажите что выражение положительное при любом значении переменной х: х2+2 у2 + 2 ху+4 у+10

х² + 2 у² + 2 ху + 4 у + 10 > 0.

Представим 2 у² как сумму у² и у², 10 как сумму 4 и 6, и поменяем местами одночлены:

х² + у² + у² + 2 ху + 4 у + 10 > 0.

х² + 2 ху + у² + у² + 4 у + 4 + 6 > 0.

Свернем одночлены по формуле квадрата суммы.

(х² + 2 ху + у²) + (у² + 4 у + 4) + 6 > 0.

(х + у) ² + (у + 2) ² + 6 > 0.

Квадрат суммы - всегда положительное число (может равняться нулю), сумма двух положительных чисел (или нулей) и числа 6 - также всегда положительное число. Следовательно, выражение всегда будет больше нуля при любом значении х и у.