Найдите наименьшее значение функции y=e^2x-5e^x-2

Найдем наименьшее значение функции y = e ^ (2 * x) - 5 * e ^ x - 2.

1) Сначала найдем производную функции:

y ' = (e ^ (2 * x) - 5 * e ^ x - 2) ' = e ^ (2 * x) * 2 - 5 * e ^ x - 0 = 2 * e ^ (2 * x) - 5 * e ^ (2 * x);

2) Найдем критические точки:

2 * e ^ (2 * x) - 5 * e ^ x = 0;

e ^ x * (2 * e ^ x - 5) = 0;

a) e ^ x = 0;

Нет корней;

б) 2 * e ^ x - 5 = 0;

Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

2 * e ^ x = 5;

e ^ x = 5/2;

x = ln 5/2;

y (ln 5/2) = e ^ (2 * ln 5/2) - 5 * e ^ ln 5/2 - 2 = (5/2) ^ 2 - 5 * 5/2 - 2 = 25/4 - 25/2 - 2 = 25/4 - 50/4 - 2 = - 25/4 - 2 = - 6,25 2 = - 8,25;

Ответ: наименьшее значение y = - 8,25.