На 25 карточках написали числа от 1 д 25 затем карточки перевернуло и перемешались и на обратных сторонах снова написали числа от 1 до 25 после этого считали разность чисел на каждой карточке доказать что произведение этих 25 разностей четн

Предположим, что существует такой вариант записи чисел от 1 до 25 на обратных сторонах карточек, что произведение разностей чисел, записанных на разных сторонах карточек, является нечетным числом.

Если произведение разностей чисел на карточках нечетное число,

то каждая разность должна быть нечетным числом. В противном случае, произведение было бы четным числом.

Вычислим количество четных чисел от 1 до 25. Четное число можно записать как 2 * n, где n - натуральное число. Тогда

1 < = 2 * n < = 25,

1 < = n < = 12.

Следовательно, четных чисел - 12, а нечетных чисел - 13.

Заметим, что разность двух чисел может быть нечетной только тогда, когда числа имеют разную четность. Разность двух четных или двух нечетных чисел является четным числом.

Следовательно, чтобы разности на всех 25 карточках были нечетными, на карточках должны быть записаны числа разной четности. Но так как нечетных чисел у нас 13, а четных чисел 12, то мы не сможем составить из них пары. Значит, хотя бы на одной карточке разность будет четной, а значит и из произведение будет четным, что и требовалось доказать.