Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого натурального числа: 1) n (n+2) (n+4) (n+6) + 16 2) n (n+1) (n+2) (n+3) + 1

1) n (n + 2) = n² + 2n,

(n² + 2n) (n + 4) = n³ + 4n² + 2n² + 8n = n³ + 6n² + 8n,

(n³ + 6n² + 8n) (n + 6) = n⁴ + 6n³ + 6n³ + 36n² + 8n² + 48n = (n⁴ + 12n³ + 36n²) + (8n² + 48n).

Первая скобка представляет собой квадрат суммы двух чисел:

n⁴ + 12n³ + 36n² = (n² + 6n) ².

Когда ко второму слагаемому прибавим 16, то получим:

8n² + 48n + 16 = 8 (n² + 6n) + 4².

Первоначальное выражение принимает вид:

(n² + 6n) ² + 2 * 4 * (n² + 6n) + 4² = (n² + 6n + 4) ². Очевидно, что при любых n, это выражение является квадратом натурального числа.

2) n (n + 1) = n² + n,

(n² + n) (n + 2) = n³ + 2n² + n² + 2n = n³ + 3n² + 2n,

(n³ + 3n² + 2n) (n + 3) = n⁴ + 3n³ + 3n³ + 9n² + 2n² + 6n = (n⁴ + 2 * 3n + (3n) ²) + 2n² + 6n.

Первая скобка представляет собой квадрат суммы двух чисел: (n² + 3n) ², а ко второй прибавляем, по условию 1, и получаем:

2n² + 6n + 1 = 2 (n² + 3n) + 1.

Все выражение принимает вид:

(n² + 3n) ² + 2 * (n² + 3n) + 1 = (n² + 3n + 1) ², очевидно, что для любых n, это будет квадрат натурального числа.