Какие остатаки могут получится при делении квадрата натурального числа на 6

1. Представим натуральное число n в виде:

n = 6k + r, где k - частное при делении числа n на 6; r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 - остаток от этого деления.

2. Возведем n в квадрат и найдем возможные остатки:

N = n^2 = (6k + r) ^2 = 36k^2 + 12kr + r^2 = 12k (3k + r) + r^2. (1)

3. В правой части равенства (1) первое слагаемое делится на 6, значит, остаток зависит только от r^2. Рассмотрим все случаи:

0^2 mod 6 = 0 mod 6 = 0; 1^2 mod 6 = 1 mod 6 = 1; 2^2 mod 6 = 4 mod 6 = 4; 3^2 mod 6 = 9 mod 6 = 3; 4^2 mod 6 = 16 mod 6 = 4; 5^2 mod 6 = 25 mod 6 = 1.

Возможные остатки: 0; 1; 3; 4.