периметр прямоугольного треугольника равет 84 см, а его нипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Обозначим стороны прямоугольного треугольника a, b и с, где с - гипотенуза, две оставшиеся стороны - катеты. Тогда можно составить уравнение, воспользовавшись теоремой Пифагора:

с² = a² + b² = 37² = 1369 см²;

А если воспользоваться формулой периметра, то можно составить и второе уравнение:

Р = a + b + c = a + b + 37 = 84 см;

Решим полученную систему уравнений и найдем длину катетов:

a + b + 37 = 84;

a + b = 84 - 37 = 47;

b = 47 - а;

a² + b² = 1369;

a² + (47 - а) ² = 1369;

a² + (47² - 2 * 47 * а + а²) = 1369;

a² + 2209 - 94 * а + а² = 1369;

2 * a² - 94 * а + 2209 - 1369 = 0;

2 * a² - 94 * а + 840 = 0;

2 * (a² - 47 * а + 420) = 0;

a² - 47 * а + 420 = 0;

a² - (12 + 35) * а + (12 * 35) = 0;

Воспользовавшись теоремой Виета, разложим уравнение на множители и приравняем каждый нулю, так как в случае равенства произведения нулю, хотя бы один множитель равен нулю:

(а - 12) * (а - 35) = 0;

а - 12 = 0;

а = 12;

а - 35 = 0;

а = 35;

b = 47 - а = 47 - 35 = 12;

Зная катеты, можно найти площадь прямоугольного треугольника, составляющую половину произведения катетов:

S = a * b / 2 = 35 * 12 / 2 = 35 * 6 = 210 см².