Найдите предел с применением правила Лопиталя lim (x стремится к 0) x-sin2x/x+под корнем X

Имеем предел:

Lim (x - > 0) ((x + sin 2x) / (x + x^ (1/2)).

Как видим, определенность образуется вида "ноль на ноль".

Воспользуемся правилом Лопиталя, числитель и знаменатель дроби как функции аргумента, дифференцируемы в области точки x0, значит, предел отношения функций равен пределу отношения их производных:

(x + sin 2x) ' = 1 + 2 * cos 2x;

(x + x^ (1/2)) ' = 1 + 1/2 * x^ (-1/2);

Получим при том, что x стремится к нулю:

(1 + 2 * cos 0) * 0^ (1/2) / (1 + 0) = 3 * 0/1 = 0.