В сегмент круга радиуса R, ограниченный дугой в 90° и стягивающей ее хордой, вписана наибольшая окружность. Найдите ее радиус

Градусная мера дуги равна центральному углу и он составляет 90°. Значит мы будем рассматривать прямоугольный треугольник с катетами, равными R:

a = b = R.

Вычислим гипотенузу этого треугольника:

c² = a² + b² = R² + R² = 2 * R².

c = √2 * R.

Найдем высоту треугольника:

a * b / c = R * R / (√2 * R) = R / √2.

Определим высоту сегмента круга:

h = R - R / √2.

Найдем радиус вписанной в сегмент окружности:

r = h / 2 = (R - R / √2) / 2 = R * (√2 - 1) / (2 * √2) = R * (2 - √2) / 4.