Две ремонтные бригады, работая одновременно, могут отремонтировать мост за 10 дней. Сколько времени потребуется для ремонта моста каждой бригаде в отдельности, если одна из них может выполнить всю работу на 15 дней быстрее, чем другая?

1. Обозначим время, которое нужно первой бригаде на ремонт моста, если она будет работать одна, через T₁, а время, которое нужно второй бригаде, - T₂.

2. По условию задачи одна бригаде работает быстрее. Пусть это будет вторая. Тогда первое уравнение: T₁ = T₂ + 15.

3. Производительность первой бригады (часть всей работы, которую бригада выполняет за 1 день) составляет 1 / T₁, а производительность второй бригады - 1 / T₂.

4. Производительность обеих бригад вместе P = 1 / T₁ + 1 / T₂ = (T₁ + T₂) / (T₁ * T₂).

5. Всю работу обе бригады, работая вместе, выполнят за 1 / P = (T₁ * T₂) / (T₁ + T₂). По условию задачи это время составляет 10 дней.

6. Второе уравнение: T₁ * T₂ = 10 * (T₁ + T₂).

7. Подставим выражение для T₁ из первого уравнения во второе. Получим квадратное уравнение T₂"^"2 - 5 * T₂ - 150 = 0.

8. Дискриминант уравнения D"^"2 = 25 + 600 = 625. Извлекаем квадратный корень, получаем:

D = 25.

9. Корни уравнения T₂ = 15 и T₂ = - 10. Отрицательный корень не соответствует условию задачи, поэтому T₂ = 15 дней.

10. Из первого уравнения T₁ = 15 + 15 = 30 дней.

Ответ: первая бригада может выполнить ремонт моста за 30 дней, а вторая - за 15 дней.