Определить количество корней уравнения cos2x-cos8x=sin5x на промежутке [0; Пи]

К левой части данного уравнения применим формулу cosα - cosβ = 2 * sin ((α + β) / 2) * sin ((β - α) / 2), который именуется "разность косинусов". Тогда, получим: 2 * sin (5 * x) * sin (3 * x) = sin (5 * x). Последнее уравнение перепишем в виде sin (5 * x) * (2 * sin (3 * x) - 1) = 0, которое позволяет получить два уравнения: sin (5 * x) = 0 и sin (3 * x) = ½. Решим оба уравнения. Решим, сначала, уравнение sin (5 * x) = 0. Это уравнение имеет корни 5 * х = π * k (где k - целое число), откуда х = (π / 5) * k. Аналогично, решим уравнение sin (3 * x) = ½. Это уравнение имеет корни 3 * х = (π / 6) + 2 * π * m (где m - целое число) и 3 * х = ((5 * π) / 6) + 2 * π * n (где n - целое число), откуда х = (π / 18) + (2 * π / 3) * m и х = ((5 * π) / 18) + (2 * π / 3) * n. По требованию задания, определим количество корней данного уравнения, расположенных на промежутке [0; π]. Другими словами, определим те значения k, m и n, для которых 0 ≤ х ≤ π. Для первой группы корней, имеем 0 ≤ (π / 5) * k ≤ π, откуда 0 ≤ k ≤ 5, то есть при k = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 получаем 6 корней, расположенных на промежутке [0; π]: 0; π / 5; (2 * π) / 5; (3 * π) / 5; (4 * π) / 5; π. Аналогично, для второй группы корней имеем 0 ≤ (π / 18) + (2 * π / 3) * m ≤ π и 0 ≤ ((5 * π) / 18) + (2 * π / 3) * n ≤ π, откуда - 1/12 ≤ m ≤ 17/12 и - 5/12 ≤ n ≤ 13/12. Следовательно, при m = 0 и 1, а также при n = 0 и 1 получаем корни данного уравнения (пока про количество корней трудно что-либо сказать). Определим эти корни. При m = 0 и 1 имеем π / 18 и (π / 18) + (2 * π / 3) = (13 * π) / 18. Аналогично, при n = 0 и 1 имеем (5 * π) / 18 и (5 * π) / 18 + (2 * π / 3) = (17 * π) / 18. Теперь стало ясно - эти корни (их 4) не совпадают с предыдущими 6 корнями и между собой. Таким образом, всего 6 + 4 = 10 корней данного уравнения расположены на промежутке [0; π]. Перечислим все 10 корней из промежутка [0; π] по порядку возрастания: 0; π / 18; π / 5; (5 * π) / 18; (2 * π) / 5; (3 * π) / 5; (13 * π) / 18; (4 * π) / 5; (17 * π) / 18; π.

Ответ: 10.