Решите неравенство методом интервалов. (9x^2-4) (16-x^2) (2x^2+3) >0

Формула разности квадратов: (а - b) (а + b) = а^2 - b^2.

Разложим первые две скобки неравенства (9 х² - 4) (16 - x²) (2x² + 3) > 0 на множители по формуле разности квадратов.

9 х² - 4 = (3 х) ² - 2² = (3x - 2) (3x + 2).

16 - x² = 4² - x² = (4 - x) (4 + x).

Получается неравенство:

(3x - 2) (3x + 2) (4 - x) (4 + x) (2x² + 3) > 0.

Так как значение скобки (2x² + 3) всегда положительно и неравенство строгое (не может быть равно нулю), то этой скобкой можно пренебречь.

У переменной х в третьей скобке отрицательный коэффициент (-х), вынесем минус за скобку и умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

- (3x - 2) (3x + 2) (х - 4) (4 + x) (2x² + 3) > 0;

(3x - 2) (3x + 2) (х - 4) (4 + x) (2x² + 3) < 0.

Решим неравенство методом интервалов. Находим корни неравенства:

3 х - 2 = 0; х = 2/3.

3 х + 2 = 0; х = - 2/3.

х - 4 = 0; х = 4.

4 + х = 0; х = - 4.

Так как неравенство строгое, ни одно число не входит в промежутки.

Отмечаем на числовой прямой точки - 4, - 2/3, 2/3 и 4, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) - 4 (-) - 2/3 (+) 2/3 (-) 4 (+).

Так как знак неравенства < 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будут промежутки (-4; - 2/3) и (2/3; 4).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-4; - 2/3) и (2/3; 4).