Назовем число "веселым", если произведение всех цифр числа равно самому числу. Найдите все такие числа.

Заметим, что любая цифра 0, 1, 2, ...,8, 9 является "веселым" числом.

Пусть число А записывается цифрами:

а1 а2 ... аn.

Определим функцию F от А, такую что:

F (A) = a1 * a2 * ... * an.

Докажем, что А > F (A).

Пусть А двузначное число. Тогда для "веселых" чисел верно:

A = F (A), 10 * a1 + a2 = a1 * a2,

A - F (A) = 10 * a1 + a2 - a1 * a2 = 10 * a1 + a2 * (1 - a1) =

= a1 * (10 - a2 * (1 - 1 / a1)) > a1 * (10 - a2) > 0

, так как a2 - цифра и меньше или равна 9.

В общем случае,

А - F (A) =

= 10 * (а1 а2 ... а (n - 1)) + an - a1 * a2 * ... * an =

= 10 * (а1 а2 ... а (n - 1)) - an * (а1 а2 ... а (n - 1) - 1) =

= (а1 а2 ... а (n - 1)) * (10 - an * (1 - 1 / (а1 а2 ... а (n - 1))) >

> (а1 а2 ... а (n - 1)) * (10 - an) > 0.

Следовательно, "веселых" чисел, за исключением цифр, не существует.