Найти сумму: 1 / (1+√2) + 1 / (√2+√3) + ... + 1 / (√1970+√1971)

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

Занумеруем слагаемые числами от 1 до 1970.

Тогда i-ое слагаемое имеет вид 1 / (√i + √ (i + 1)).

Преобразуем каждое слагаемое:

1 / (√i + √ (i + 1)) = (√ (i + 1) - √i) * 1 / (√ (i + 1) - √i) * (√ (i + 1) + √i) = (√ (i + 1) - √i) * 1 / (√ (i + 1) * √ (i + 1) - √i * √i) = (√ (i + 1) - √i) * 1 / ((i + 1) - i) = (√ (i + 1) - √i) * 1 / 1 = √ (i + 1) - √i.

Тогда наш ряд можно записать в виде:

(√2 - √1) + (√3 - √2) + ... + (√1971 - √1970) = √1971 - √1.

Ответ: √1971 - 1.