Решите неравенство2^х + 3*2^-х ≤ 4

2^х + 3 * 2^ (-х) ≤ 4.

Преобразуем выражение:

2^х + 3 * 1/2^х ≤ 4.

Введем новую переменную: пусть 2^х = а.

а + 3/а ≤ 4.

Перенесем 4 в левую часть и приведем все к общему знаменателю:

а + 3/а - 4 ≤ 0;

(а^2 - 4 а + 3) / а ≤ 0.

Разложим числитель на множители: а^2 - 4 а + 3 = (а - а₁) (а - а₂).

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 4; х₁ * х₂ = 3.

Корни равны 1 и 3.

Значит, а^2 - 4 а + 3 = (а - 1) (а - 3).

Неравенство приобретает вид (а - 1) (а - 3) / а ≤ 0. Решим неравенство методом интервалов.

Корни неравенства: 0 (не входит в промежуток), 1 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 0, 1 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) 0 (+) 1 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства ≤ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 0) и [1; 3].

Значит а = 1; a ≤ 3.

Возвращаемся к замене 2^х = а:

1) а < 0; 2^х < 0 (не может быть).

2) a > = 1; 2^х > = 1; 2^х > = 2^0; х > = 0.

3) a ≤ 3; 2^х ≤ 3; х ≤ log₃2.

Решение неравенства [0; log₃2].