Решите уравнение Прошу с подробным описанием н Sin x/2 sin 3x/2 = 1/2

Для левой части уравнения применим формулу произведения синусов: sin a * sin b =

= ^{(cos [a - b]) - (cos [a + b])} /₂;

sin ^x/₂ * sin ^3x/₂ = ¹/₂ * (cos (^x/₂ - ^3x/₂) - cos (^x/₂ + ^3x/₂)) = ¹/₂ * (cos (-х) - cos 2 х) =

= ¹/₂ * (cos х - cos 2 х). [cos (-х) = cos х, т. к косинус - четная функция].

Вернемся к уравнению.

sin ^x/₂ * sin ^3x/₂ = ¹/_2^;

¹/₂ * (cos х - cos 2 х) = ¹/₂, умножим обе части на 2;

cos х - cos 2 х = 1, применим формулу двойного аргумента для косинуса;

cos х - (2cos² х - 1) = 1, раскроем скобки, перенесем единицу;

cos х - 2cos² х = 0, вынесем cos х за скобку;

cos х * (1 - 2cos х) = 0;

cos х = 0; х = ^Пи/₂ + Пи * k, где k ∈ Z.

1 - 2cos х = 0; cos х = ¹/₂; х = ± ^Пи/₃ + 2 Пи * m, где m ∈ Z.

Ответ: х = ^Пи/₂ + Пи * k, где k ∈ Z; х = ± ^Пи/₃ + 2 Пи * m, где m ∈ Z.